Blogueiros do CEAB: Simulação de um Sistema discreto dinamico não linear.

1) Para o sistema dinâmico descrito pelo modelo não linear de quarta ordem:

a) Determine o ponto de equilíbrio do sistema. Utilize a função “fsolve” do Matlab que baseiase no método de Newton Haphson. Dica: As equações ficam em um arquivo e o comando “fsolve” em outro arquivo distinto.

Exemplo:

(20-A e 0.45-B)

Arquivo 1:

function F=arquivo1(x)

F = [-0.5.*x(1).^2 + 0.5.*x(2).^2 - 0.2;

-20*sin(x(1)) - 0.45*x(2); % conjunto de equação –> f(x)=0

-1*x(2)^2 + 0.2*x(4);

-175*sin(x(3)) - 0.6*x(4)];

end

Arquivo 2:

clc, clear all, close all

x0=[1 ; 1 ; 1 ; 1]; % Condições iniciais para resolução

options=optimset('Display','iter'); % Opção da saída

[x,fval]=fsolve(@arquivo1,x0, options); % Chamando a função

Use o help do matlab para mais detalhes.

Ponto de Equilíbrio:

x = -0.0142 ; 0.6326 ; -0.0069 ; 2.0010.

fval = 1.0e-007 *

0.0777 , -0.0000 ; -0.1555 , 0.

b) Determine o modelo linear na forma x’(t)=Ax(t) . Utilize o comando “jacobian” do Matlab que baseia-se na expansão em série de Taylor truncada na primeira ordem. Dica: É necessário declarar variáveis simbólicas e depois atribuir valores para as variáveis.

Exemplo:

% declaração das variáveis simbólicas

x1=sym('x1'); x2=sym('x2');x3=sym('x3'); x4=sym('x4');

% conjunto de equações não lineares – x(ponto)=f(x

F = [-0.5.*x1.^2 + 0.5.*x2.^2 - 0.2;

-20*sin(x1) - 0.45*x2;

-1*x2^2 + 0.2*x4;

-175*sin(x3) - 0.6*x4];

X=[x1,x2,x3, x4];

FX=jacobian(F,X);

% atribuição de valores para as variáveis

x1=x(1); x2=x(2); x3=x(3); x4=x(4);

A=subs(FX);

A =

0.0142 0.6326 0 0

-19.9980 -0.4500 0 0

0 -1.2652 0 0.2000

0 0 -174.9959 -0.6000

c) Calcule os autovalores referentes ao modelo linear obtido e diga se o sistema é estável ou instável.

As raízes características são os autovalores da matriz.

eig(A)

-0.2179 + 3.5492i ; -0.2179 - 3.5492i ; -0.3000 + 5.9084i ; -0.3000 - 5.9084i

O sistema é estável. Pois, se todo autovalor real de A é negativo e todo autovalor complexo de A tem parte real negativa, então x = 0 é um ponto de equilíbrio assintoticamente estável: toda solução tende a zero quando t ® ¥.

d) Faça uma simulação baseada no modelo linear considerando uma perturbação de +10% na variável de estado x2 (ou seja, Δx 2(0) = x2(0)*0,1). Para implementar a simulação linear use o comando “initial” do Matlab.

A =[ 0.0142 0.6326 0 0

-19.9980 -0.4500 0 0

0 -1.2652 0 0.2000

0 0 -174.9959 -0.6000];

x0=[1 1.1 1 1]; % vetor de condição inicial

% Pertubação de 10% em x2

% Matriz B= [1 0 0 0

% C= 0 1 0 0

% D= 0 0 1 0

% E= 0 0 0 1]

B=[1 0 0 0]; % como é malha aberta

subplot(2,2,1); % controle de impressão da figura.(numero de linhas,numero de colunas,Primeira Posição para o grafico Grafico)

sys = ss(A,[],B,[]);

initial(sys,x0)

legend('L -x1 (Perterbação em x2=10%)',1);

title('Perturbação em x2');

xlabel('Tempo(s)');

ylabel('Amplitude');

subplot(2,2,2);% controle de impressão da figura.(numero de linhas,numero de colunas, Segunda Posição para o grafico Grafico)

C=[0 1 0 0];

sys = ss(A,[],C,[]);

initial(sys,x0)

legend('L -x2 (Perterbação em x2=10%)',1);

title('Perturbação em x2');

xlabel('Tempo(s)');

ylabel('Amplitude');

subplot(2,2,3);% controle de impressão da figura.(numero de linhas,numero de colunas,Terceira Posição para o grafico Grafico)

D=[0 0 1 0];

sys = ss(A,[],D,[]);

initial(sys,x0)

legend('L -x3 (Perterbação em x2=10%)',1);

title('Perturbação em x2');

xlabel('Tempo(s)');

ylabel('Amplitude');

subplot(2,2,4); % % controle de impressão da figura.(numero de linhas,numero de colunas, Quarta Posição para o grafico Grafico)

E=[0 0 0 1];

sys = ss(A,[],E,[]);

initial(sys,x0)

legend('L -x4 (Perterbação em x2=10%)',1);

title('Perturbação em x2');

xlabel('Tempo(s)');

ylabel('Amplitude');

e) Faça uma simulação não linear considerando uma perturbação de +10% na variável de estado x2 (ou seja, x2inicial (0) = x (0)*1,1 ). Para implementar a simulação use o comando ODE45 do Matlab que utiliza o método de Runge-Kutta de integração numérica. Dica: As equações ficam em um arquivo e o comando “ode45” em outro arquivo distinto. Exemplo:

Arquivo 1:

TSPAN=[0 10.0];

Y0=[x0(1) x0(2) ]; % Condições iniciais

[ta,ya]=ODE45('arquivo2',TSPAN,Y0,[],T1,T2); % função que resolve as equações

figure(1)

plot(ta,ya(:,1)); % “Plota” a variável x1

legend('xxxx',1);

title('xxxx')

xlabel('tempo [s]')

ylabel('xxx [yy]')

Arquivo 2:

function arquivo2 = odefile(t,y,options,T1,T2);

Arquivo2(1,1)= -inv(T1)*y(2) +y(1); % Equações diferenciais

Arquivo2(2,1)= T2*arquivo2(1,1) + y(2); % Equações diferenciais

function principal

clear all;

clc;

TSPAN=[0 15.0]; % tempo de simulaçao

XX0=[1 1.1 1 1]; % Condições iniciais com 60% em x2

options = odeset('Abstol',1e-6,'Reltol',1e-6);% erro relativo e erro absoluto

[ta,ya]=ode45('arquivo7',TSPAN,XX0,[]); % função que resolve as equações

subplot(2,2,1)

plot(ta,ya(:,1)); % “Plota” a variável x1

legend(' x1 (Perturbação em x2 de 10%',1);

title('Perturbação em x2');

xlabel('Tempo [s]');

ylabel('Amplitude');

subplot(2,2,2)

plot(ta,ya(:,2)); % “Plota” a variável x1

legend(' x2 (Perturbação em x2 de 10%',1);

title('Perturbação em x2');

xlabel('Tempo [s]');

ylabel('Amplitude');

subplot(2,2,3)

plot(ta,ya(:,3)); % “Plota” a variável x1

legend(' x3 (Perturbação em x2 de 60%',1);

title('Perturbação em x2');

xlabel('Tempo [s]');

ylabel('Amplitude');

subplot(2,2,4)

plot(ta,ya(:,4)); % “Plota” a variável x4

legend(' x4 (Perturbação em x2 de 10%',1);

title('Perturbação em x2');

xlabel('Tempo [s]');

ylabel('Amplitude');

f) Compare a resposta linear com a resposta não linear das variáveis x2 e x3 para uma perturbação de +10% e outra de +60% na variável x2.

Perturbação de + 10% na Variável X2
Resposta Linear	Resposta Não Linear

Observando os gráficos da variável X2, a resposta linear e da resposta não linear para uma perturbação de +10% na variável X2, conclui-se que a resposta não linear estabiliza em um tempo menor que a resposta linear, porem a resposta não linear atinge maior amplitude que a resposta linear.

Observando os gráficos da variável X3, da resposta linear e da resposta não linear para uma perturbação de +10% na variável X2, conclui-se que a resposta não linear decai significativamente estabilizando neste valor negativo em um curto espaço de tempo. Já a resposta linear tem uma pequena oscilação e em poucos segundos estabiliza.

Perturbação de + 60% na Variável X2
Resposta Linear	Resposta Não Linear

Observando os gráficos da variável X2, a resposta linear e da resposta não linear para uma perturbação de +60% na variável X2, conclui-se que a resposta não linear estabiliza em um tempo menor que a resposta linear, porem a resposta não linear atinge maior amplitude que a resposta linear.

Observando os gráficos da variável X3, da resposta linear e da resposta não linear para uma perturbação de +60% na variável X2, conclui-se que a resposta não linear decai significativamente estabilizando neste valor negativo em um curto espaço de tempo. Já a resposta linear tem uma pequena oscilação e em poucos segundos estabiliza.